ワカるデキる　対数（５）　～3の33乗は何桁ですか？～

　では、今までの知識を応用して問題を解いてみよう！

　 $3^{33}$ は何桁の数字か？

　この問題の意味をよく考えてほしい。ポイントは「何桁の数字か？」という部分である。前回も述べたが、桁数を表すのに “10” を底とした指数で表現することになるのだ。すなわち、この問題のポイントは $3^{33}$ という数字を、”10″ を底とした指数で示す部分にあるのだ。

　よって、この問題を、 $3^{33}$ は、”10″ という底の、何乗ですか？と読み替える。そうすると、これを $\log_{10}3^{33}$ という数式で表現できるのだ！

　さて、以前学習した公式 $\log_a m^n = n\log_a m$ を使って以下のように変形する。

　ここで $\log_{10}3=0.4771$ なので、

　ということで、 $15.7443$ という数字が出てきたのだが、これは何を意味するかといえば、 $3^{33}$ は、 $10$ の $15.7443$ 乗だということなんだ。

　 $10$ の $15.7443$ 乗は、 $10^{0.7443}\times 10^{15}$ となるね。

　 $10^1$ 未満は必ず10未満の数になる。ゆえに、 $10^{0.7443}$ で1桁。　さらにそこに $10^{15}$ がつくので、合計で16桁。　はい、答えは16桁になりました！

　というわけで、おおよその数が「数京」だということがわかりましたね。このように、大体の数、桁数なんかを考える上で、対数は非常に便利なわけです。

　でも、最初のヒト桁目が “1” “9” かで、ずいぶん違いますよね？　ん～ん、なんとか、ヒト桁目を類推出来ないでしょうか？　では、そこは次回勉強しましょう！