◆開成高校　数学　難問　解答と解説
（１）点Ｂの座標を (b,b^2) とすると、傾きの公式より k=\frac{4-b^2}{2-b} となる。因数分解すると、k=\frac{4-b^2}{2-b}=\frac{(2-b)(2+b)}{2-b}=2+b となる。よって、b=k-2 となるので、点Ｂの座標は (k-2,k^2-4k+2) となる。
（２）（１）の点Ｂの座標と点Ａの座標 が一致すればよいので、 k-2=2 より k=4 となる。点Ａ (2,4) を通り、傾き k=4 なので、4=4 \times2+b に代入して b=-4 。ゆえに求める式は y= 4x -4 となる。
（３）
線 l が y= -4x -4 なので、点Ｃの座標が (1,0) とわかる。ここで点Ｅの座標を (e,0) とおくと、三平方の定理より AE=\sqrt{(2-e)^2+4^2}=\sqrt{e^2-4e+20}となる。
一方で、図より AE:AD=CE:DC が成り立つので
\sqrt{e^2-4e+20}:4=(1-e):(2-1)
e^2-4e+20:4^2=(1-e)^2:1^2
e^2-4e+20=16\times(1-e)^2
15e^2-28e-4=0
(15e+2)(e-2)=0
e=-\frac{2}{15},2
図よりe=-\frac{2}{15}
直線ＡＥは y=ax+b に点Ａ (2,4) 点Ｅ (-\frac{2}{15},0) を代入して、 a=\frac{8}{15}, b=\frac{1}{4} となるので、点Ｆは (0,\frac{1}{4})