　　

高校入試への数学(2)　一次関数②　交点と面積

時習館の森山の

高校入試への数学

～第２講　一次関数②　交点と面積～

【問題】（難易度★☆☆☆☆）

下の図で、直線 $l$ は関数 $y=\frac{1}{3}x+5$ のグラフ、直線 $m$ は関数 $y=2x$ のグラフ、直線 $n$ は関数 $y=-\frac{4}{3}x$ のグラフ、ある。直線 $l$ と直線 $m$ は点 $A$ で、直線 $l$ と直線 $n$ は点 $B$ でそれぞれ交わっている。ただし、原点 $O$ から点 $(1$ , $0)$ までの距離、及び原点 $O$ から点 $(0$ , $1)$ までの距離をそれぞれ $1cm$ とする。

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(1)　点 $A$ の座標を求めなさい。

(2)　△ $OAB$ の面積を求めなさい

(3)　△ $OAB$ を、原点 $O$ を回転の中心として時計の針の回転と反対の向きに、辺　 $OB$ が初めて $y$ 軸に重なるまで回転移動した。点 $A$ が移った点を $A'$ とするとき、点 $A'$ の座標を求めなさい。

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【ズバリPoint！】

　→　直線 $y=ax+b$ ・・・①と　直線 $y=px+q$ ・・・②　の交点 $A$ を求めるときは、 ①と②を連立方程式にし求める。

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【解答と解説】

(1)

点 $A$ は、直線 $l$ と直線 $m$ の交点になるので、

直線 $l$ : $y=\frac{1}{3}x+5$ …①

直線 $m$ : $y=2x$ …②

①と②を連立方程式で解くと、 $x=3$ 、 $y=6$ となる。

　答　点 $A$ 　 $(3$ , $6)$

(2)

まず点 $B$ の座標を考える。

点 $B$ は、直線 $l$ と $n$ は関数 $y=-\frac{4}{3}x$ の交点になるので、

直線 $l$ : $y=\frac{1}{3}x+5$ …①

直線 $n$ : $y=-\frac{4}{3}x$ …②

①と②を連立方程式で解くと、 $x=-3$ 、 $y=-4$ となる。

点 $B$ 　 $(-3$ , $-4)$

次に、左図のように、「正方形－まわりの３つの三角形」で考える。

△ $OAB=6\times6 -\frac{1}{2}\times3\times4 -\frac{1}{2}\times3\times6 -\frac{1}{2}\times2\times6$

　　　 $=36-21=15$

　答　 $15(cm^2)$

(3)

△ $OAB$ 回転すると、左図のようになる。

ここで、 $AH=A'H'=a$ 、 $OH=O'H'=b$ とすると、

$OB=5$ なので、(2)より、 $a=6$ となり、

$OA=3\sqrt{5}$ なので、 $b=3$ となる。

図より、 $A'$ の座標は $(-a$ , $-b)$ になる。

　答　点 $A'$ 　 $(-6$ , $-3)$