◆平成25年度長崎県　数学　超難問(正答率1.7%)　解答と解説
正の偶数を 2n とする。
２つの続いた正の偶数は 2n , 2n+2 と表すことができる。
「ある２つの続いた正の偶数の平方の和から２を引いた数」は 2n^2+(2n+2)^2-2となる。

2n^2+(2n+2)^2-2
= 4n^2+4n^2+8n+4-2
= 8n^2+8n+2
= 2(4n^2+4n+1)
= 2(2n+1)^2
この2(2n+1)^2が3ケタの 7 の倍数になるので、
100 \leq 2(2n+1)^2 < 1000
50 \leq (2n+1)^2 < 500・・・①
ここで(2n+1)^2は 7 の倍数、かつ、奇数である・・・②
①と②の両方を満たすのは、(2n+1)^2 = 21^2　である。
ゆえに、(2n+1) = 21　なので　n = 10

そこで、２つの続いた正の偶数は 2n , 2n+2 は、それぞれ 20 , 22 となる。

答え．20 , 22