　　

高校入試への数学(1)　一次関数①　対称な点

時習館の森山の

高校入試への数学

～第１講　一次関数①　対称な点～

【問題】（難易度★★☆☆☆）

直線 $y=2x+1$ に関して、点 $A$ $(6,8)$ と対称な点 $B$ の座標を求めなさい。

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【ズバリPoint！】

直線 $y=ax+b$ に関して、点 $A$ と点 $B$ が対称な位置にある場合

　→　① 直線 $y=ax+b$ と直線 $AB$ は直交する

　→　② 直線 $y=ax+b$ と直交する直線の傾きは $-\frac{1}{a}$ になる

　→　③ 直線 $y=ax+b$ は直線 $AB$ の中点を通る

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【解答と解説】

求める点 $B$ の座標を $(p,q)$ とすると、

直線 $AB$ は $y=2x+1$ と直交するので、

直線 $AB$ の傾きは $= \frac{8-q}{6-p} = - \frac{1}{2}$ になればよい。

この式を整理して、 $p+2q=22$ 　･･･　ア

また、直線 $AB$ nの中点 $M$ の座標は、 $=\frac{p+6}{2},\frac{q+8}{2}$ になる。

この中点 $M$ は、直線 $y=2x+1$ のうえにあるので、代入すると、

$\frac{q+8}{2}=2\times \frac{p+6}{2}+1$ となる。

この式を整理して、 $2p-q=-6$ 　･･･　イ

アとイより連立方程式を解くと、 $p=2$ , $q=10$ となる。

答え　 $(2$ , $10)$