　　

高校入試への数学(4)　平方根の小数部分

時習館の森山の

高校入試への数学

～第４講　平方根の小数部分～

【問題】（難易度★★☆☆☆）

$\sqrt{7} +2$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、
$a^2+ab+b^2$ の値を求めなさい。

↓

↓

↓

↓

↓

Clipboard01

【ズバリPoint！】

平方根の小数部分の求め方

ポイント１：整数を平方根の形にして、与えられた平方根との大小関係から、整数部分を考える。

ポイント２：平方根の小数部分　＝　平方根－整数部分

因数分解の応用

ポイント： $a^2+ab+b^2$ ＝ $(a^2+2ab+b^2)-ab$ ＝ $(a+b)^2-ab$

上記の式変形は高校数学ではよく出てくるので覚えておくと便利！

↓

↓

↓

↓

↓

【解答と解説】

$1=\sqrt{1}$ 、　 $2=\sqrt{4}$ 、　 $3=\sqrt{9}$ なので、

$\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$ となる。

ゆえに $2<\sqrt{7}<3$ なので、

$\sqrt{7}$ は、 $2.$ ・・・という数字になり、整数部分は $2$ となる。

よって、 $\sqrt{7}+2$ の整数部分を $a=4$ となり、

$\sqrt{7}+2=4+b$ と表すことができる。

ゆえに、 $\sqrt{7}=4+b-2=2+b$ なので、 $b=\sqrt{7}-2$ となる。

以上より整数部分 $a=2$ 、小数部分 $b=\sqrt{7}-2$ となる。

ここで、 $a+b$ ＝　 $4+\sqrt{7}-2$ ＝ $2+\sqrt{7}$ となる。

また、 $a\times b$ ＝ $4\times \sqrt{7}-2$ ＝ $4\sqrt{7}-8$ である。

$a^2+ab+b^2$ ＝ $(a^2+2ab+b^2)-ab$ ＝ $(a+b)^2-ab$ なので、代入して計算する。

$(2+\sqrt{7})^2-(4\sqrt{7}-8)$ ＝ $4+4\sqrt{7}+7-4\sqrt{7}+8$ ＝ $19$