高校入試への数学(5)　根号の計算の応用

時習館の森山の
高校入試への数学
～第５講　根号の計算の応用～
【問題】 （難易度★☆☆☆☆）
次の二次方程式を解きなさい。
（１） (\sqrt{33}+\sqrt{21})(\sqrt{77}-7)
（２） (2\sqrt{3}+1)^2-(2\sqrt{3}-1)^2
（３） \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}
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Clipboard01【ズバリPoint！】
根号を含む計算の工夫の仕方
ポイント１：共通因数をくくりだして整理する。
ポイント２：展開公式 (a+b)(a-b) ＝ a^2-b^2 を利用する。
例題：(4\sqrt{3}+4)(\sqrt{12}-\sqrt{4})
＝ 4\times(\sqrt{3}+1)\times(2\sqrt{3}-2)
＝ 4\times(\sqrt{3}+1)\times2\times(\sqrt{3}-1)
＝ 4\times2\times(\sqrt{3}+1)\times(\sqrt{3}-1)
＝ 8\times(\sqrt{3}^2-1^2)
＝ 8\times(3-1)
＝ 16
ポイント３：分母に \sqrt{a} \pm \sqrt{b} がある時には、\frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}} を掛けて、分母を有理化する。
例題：\frac{2}{\sqrt{3}+2}
＝ \frac{2}{\sqrt{3}+2} \times \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}
＝ \frac{2(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}
＝ \frac{2(\sqrt{3}-2)}{\sqrt{3}^2-2^2}
＝ \frac{2(\sqrt{3}-2)}{3-2}
＝ 2(\sqrt{3}-2)
＝ 2\sqrt{3}-4
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【解答と解説】
（１）
(\sqrt{33}+\sqrt{21})(\sqrt{77}-7)
　＝　\sqrt{3}\times(\sqrt{11}+\sqrt{7})\times\sqrt{7}(\sqrt{11}-\sqrt{7})
　＝　\sqrt{3}\times\sqrt{7}\times(\sqrt{11}+\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7})
　＝　\sqrt{21}\times(\sqrt{11}^2-\sqrt{7}^2)
　＝　\sqrt{21}\times(11-7)
　＝　4\sqrt{21}
（２）
(2\sqrt{3}+1)=A、(2\sqrt{3}-1)=B とおく。
(2\sqrt{3}+1)^2-(2\sqrt{3}-1)^2
　＝　A^2+B^2
　＝　(A+B)(A-B)
ここで、(A=2\sqrt{3}+1)、(B=2\sqrt{3}-1) を戻すと、
　＝　{(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}+1)-(2\sqrt{3}-1)}
　＝　(4\sqrt{3})\times2
　＝　8\sqrt{3}
（３）
\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}
　＝　\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
　＝　\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{\sqrt{2}^2-1^2} - \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}
　＝　(\sqrt{2}+1)^2-(\sqrt{2}-1)^2
　(\sqrt{2}+1)=A、(\sqrt{2}-1)=B とおく。
　A^2-B^2
　＝　(A+B)(A-B)
　(A=\sqrt{2}+1)、B=(\sqrt{2}-1) を戻すと、
　{(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)、
　＝　(\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)
　＝　2\sqrt{2}\times2
　＝　4\sqrt{2}